平面向量解题要点与实际应用

在学习数学平面向量的过程中，一些好的试题会为自己的平面向量学习提供很好地帮助，是自己更好的应战高考，是自己在高考中取得优异的成绩，所以，今天，就为大家提供以下的平面向量解题要点与实际应用：

一、基本计算类:

1.已知-=(1，2)，-=(-3，2)，若(k-+-)⊥(--3-)则k=_______，

若(k-+-)//(--3-)，则k=____

答案：19，--。公式基本应用，无需解释。

2.已知向量-=(cos，sin)，向量-=(2-，-1)则|3---|的最大值为解：(3a-b)2=(3cosθ-2-,3sinθ+1)(3cosθ-2-,3sinθ+1)

=(3cosθ-2-)2+(3sinθ+1)2

=9cos2θ-12-cosθ+8+9sin2θ+1+6sinθ

=18+6sinθ-12-cosθ

≤18+-=18+18=36

∴|3a-b|max=6

点评：本题虽然是道小的综合题，但是向量中的升次技巧还是十分突出的，“见模平方”已是很多老师介绍给同学的一大法宝。不过升次的另外一种途径，就是同时点乘向量。

二、向量与三角知识综合：

3.设-=(1+cos，sin)，-=(1-cos，sin)，-=(1，0)，∈(0，)，∈(，2)-，-的夹角为θ1，-，-的夹角为θ2，且θ1-θ2=-，求sin-的值。

解：-·■=1+cos

-·■=1-cos

|-|2=2+2cos=4cos2-|-|2=2-2cos=4sin2-|-|=1

∵-∈(0，-)-∈(-，)

∴|-|=2cos-|-|=2sin-

又-·■=|-||-|cosθ1

∴1+cos=2cos-cosθ1

2cos2-=2cos-·cosθ1

∴cosθ1=cos-∴θ1=-

同理-·■=|-||-|cosθ2

∴sin-=cosθ2

∴cos(---)=cosθ2

∴---=θ2

∴θ1-θ2=-+-=-

∴-=--

∴sin-=--

三、向量与函数、不等式知识综合：

4.已知平面向量-=(-，1)，-=(-，-)，若存在不同时为零的实数k，t，使-=-+(t2-3)-，-=-k-+t-，且-⊥-.(1)试求函数关系式k=f(t);(2)求使f(t)>0的t的取值范围.

解：(1)由题知-·■=0，|-|2=4|-|2=1

-·■=-k-2+t-·■+t(t3-3)-2-k(t2-3)-·■=-4k+t(t2-3)=0

∴k=-(t3-3t)即f(t)=-(t3-3t)

(2)f’(t)=-(3t2-3)=-(t2-1)

-

令f(t)=0∴t1=0t2=--t3=-

由图可知

t∈(--，0)∪(-,+∞)

四、用向量的知识解决三角形四边形中的问题。(与平面几何的交汇是近几年考试的热点)

温馨提示：据以下问题，同学们可以归纳一些常见结论，如与内心、外心、垂心、重心、中线、角分线、高线、共线、垂直等相关的结论。

5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足-=-+(-+-)·∈(0,+∞)。则P的轨迹一定通过△ABC的()

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

答案：B

6.设平面内有四个互异的点A，B，C，D，已知(---)与(-+--2-)的内积等于零，则△ABC的形状为()

(A)直角三角形

(B)等腰三角形

(C)等腰直角三角形

(D)等边三角形

答案：B

解：-+--2-=(---)+(---)=-+-

又---=-

∴-·(-+-)=0

∴等腰三角形

7.已知-A=-，-C=-，-C=-且满足(---)·■=0(>0)，则△ABC为()

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.不确定

解：式子的含义就是角分线与高线合一。故选B。

8.若平面四边形ABCD满足-+-=-，(---)·■=0，则该四边形一定是

A.直角梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

答案为C。第一个条件告诉我们这是平行四边形，而第二个条件则说明对角线互相垂直。

五、向量与解析几何的综合：

9.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若-+-+-=0，

解：由-+-+-=0可知，F为三角形ABC的重心，故xg=-,而|-|+|-|+|-|=xA+xB+xC+3-故原式值为6。

10.已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(-2，0)，B(2，0)|-|=2，-=-(-+-)求E点的轨迹方程;

解：(1)设E(x，y)，-=-+-，则四边形ABCD为平行四边形，而-=-(-+-)E为AC的中点

∴OE为△ABD的中位线

∴|-|=-|-|=1

∴E点的轨迹方程是：x2+y2=1(y≠0)

点评：本题正是关注了向量几何意义得以实现运算简化。

11.设椭圆方程为x2+-=1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足-=-(-+-)，点N的坐标为(-，-)，当l绕点M旋转时，求：

(1)动点P的轨迹方程;

(2)|-|的最小值与最大值.

(1)解：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，所以x12+-=1④x22+-=1⑤

④—⑤得x12-x22+-(y12-y22)=0，所以(x1-x2)(x1+x2)+-(y1-y2)(y1+y2)=0

当x1≠x2时，有x1+x2+-(y1+y2)·■=0⑥

-

将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧

当x1=x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，-2)，这时点P的坐标为(0，0)

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为-+-=1

(2)解：由点P的轨迹方程知x2≤-，即--≤x≤-。

所以|-|2=(x--)2+(y--)2=(x--)2+--4x2=-3(x+-)2+-……10分

故当x=-，|-|取得最小值，最小值为-;当x=--时，|-|取得最大值，

最大值为-。

点评：本题突出向量的坐标运算与解析几何求轨迹方法的结合，以及二次函数求最值问题。

12.在△ABC中，-=-，-=-又E点在BC边上，且满足3-=2-，以A，B为焦点的双曲线过C,E两点，(1)求此双曲线方程，(2)设P是此双曲线上任意一点，过A点作APB的平分线的垂线，垂足为M，求M点轨迹方程。

解：本题只解第一问，在这里向量的应用是很有新意的。

(1)以线段AB中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，设A(-1,0)B(1,0)作CO⊥AB于D

由已知-=-

∴|-|cosA=-

∴|-|=-

又同理-=-

∴|-|=-

设双曲线---=1(a>0，b>0)C(--，h)E(x1，y1)

∵3-=2-

-

E，C在双曲线上

-

∴双曲线为7x2--y2=1

数学中的平面向量是高考的热点，也是学习的难点，所以，一些好的真题会为我们的学习提供很好地帮助，是自己更好的应战高考，并在高考中取得优异的成绩，所以，上面有关的平面向量解题要点与实际应用，大家要好好的利用。